Πολυωνυμική παλινδρόμηση

[pfys]

Έστω ότι έχουμε ένα σύνολο τιμών χ,ψ και για αυτές έχουμε υπολογίσει ένα πολυώνυμο y=f(x)= ax3 + bx2 + cx + d.

Αυτό γίνεται πολύ εύκολα με το excel με την function LINEST ή με την προσθήκη trend line σε chart είτε .

Στο http://www.tushar-mehta.com/publish_...nalysis/16.htm
υπάρχει μια εξαιρετική ανάλυση για το πώς επιλέγεις ένα πολυώνυμο 2ου ή ανωτέρου βαθμού



Η f1(x) είναι ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο για όλα τα σημεία.
Για κάθε χ υπολογίζω την f1(χ) και βρίσκω την διαφορά με το y.

Η f2(x) είναι ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο για όλα τα 2:6.
H διαφορά που προκύπτει ανάμεσα στο y και στην f2(x) είναι αμελητέα.

Γνωρίζει κανείς κάποια διαδικασία, πέρα από το try and error, ώστε να σπάσουμε το αρχικό σύνολο τιμών σε N μικρότερα υποσύνολα και να υπολογίσουμε σε κάθε ένα από αυτά ένα πολυώνυμο που θα ελαχιστοποιεί αυτές τις διαφορές.

Τα δεδομένα έχουν προέλθει από μετρήσεις με διακριβωμένα όργανα και πρέπει να διατηρήσω και να εξασφαλίσω την μέγιστη δυνατή ακρίβεια.

To xls υπάρχει στο http://www.filefactory.com/file/2q7j...regression_xls

[dipoli]

Πιστεύω πως οι μεγαλύτερες αποκλίσεις είναι σε σημεία με απότομη μεταβολή της κλίσης της f(x), δηλαδή μεγάλες μεταβολές της f΄(x), ισως κυρίως στα τοπικά ακρότατα και στα σημεία καμπής. Αν βρείς τα σημεία αυτά μπορείς να φτιάξεις cubics splines μεταξύ τους. Ομως ο τροπος αυτος δεν ειναι γενικός, ειναι απλά ένα βήμα παραπάνω απο το trial and error.
Υπάρχει η λύση των καμπυλών Bezier και κατ'επέκτασιν των B-Splines. Με τη χρήση της μεθόδου αυτής ή συναρτηση περνά ακριβώς απο τα σημεία που θέλεις, απαιτεί όμως τη χρήση ενδιάεσων control points που καθορίζουν και τη μορφή της συνάρτησης ανάμεσα στα σημεία ενδιαφέροντος, που μπορεί και να μην είναι κάν συνάρτηση, αλλα μια καμπύλη (δηλαδή να έχει δυο τιμες του Υ για κάποιο Χ).
Η συνάρτηση που θέλεις να περιγράψεις με τις μετρησεις τι μορφή έχει, τι συνάρτηση θα επιθυμούσες μεταξύ των μετρήσεων;



Παραδείγματα καμπυλών bezier, το αρχικο και τελικο σημειο ειναι τα σημεια ενδιαφεροντος, και τα ενδιαμεσα ειναι τα control points.

Παρεπιπτόντως, υπάρχει άπειρος κώδικας open source για μαθηματικά και αριθμητικές μεθόδους, καθώς και το wolfram alpha. Γιατί χρησιμοποιείς το excel που δεν ξέρεις ακριβώς τι κάνει στην LINEST;.


I believe we should all pay our tax with a smile. I tried - but they wanted cash...

[dipoli]

Για ανάγνωση βρήκα και αυτό επίσης...


I believe we should all pay our tax with a smile. I tried - but they wanted cash...

[pfys]

Dipoli, ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια αλλά η διαδικασία προσαρμογής της καμπύλης στα σημεία είναι δεδομένη από το EIM (http://www.eim.gr/). Κατά συνέπεια δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω καμπύλες Bezier αλλά θα τις δω και θα τα ταξινομήσω για μελλοντική χρήση.


Η διαδικασία αφορά ογκομέτρηση υπογείων δεξαμενών καυσίμων.
Αδειάζουμε επιμελώς την δεξαμενή από κάθε υπόλοιπο καυσίμου.
Γεμίζουμε με νερό ένα, πιστοποιημένο από την ΕΙΜ, δοχείο 100lt και το αδειάζουμε στην δεξαμενή.

Μετρούμε την στάθμη με ηλεκτρονική βέργα μέτρησης στάθμης που έχει εγκατασταθεί κατακόρυφα στην δεξαμενή.

http://lnx.startitaliana.com/view2.php?id=1
http://www.autotank.com/product_15.aspx
http://www.fafnir.com/Petrol-Station...el-Sensors.php

Επαναλαμβάνουμε έως την πλήρωση της δεξαμενής.

Από τις μετρήσεις στάθμης – όγκου πρέπει να βρεθούν τα πολυώνυμα που προσαρμόζονται καλύτερα στα σημεία (R2 ~ 1 & να ελαχιστοποιηθεί το σφάλμα παλινδρόμησης σe)

Ο νόμος εισροών-εκροών για τα πρατήρια υγρών καυσίμων προβλέπει το ισοζύγιο όγκου στους 150oC να μην διαφέρει περισσότερο από 5 ‰. (μάλλον στην τελική μορφή θα είναι 2%). Για αυτό απαιτείται η δυνατότητα υπολογισμού του όγκου με μεγάλη ακρίβεια για κάθε τιμή της στάθμης. Μα βάσει τα πολυώνυμα θα υπολογίζεται η παραλαβή το βυτίο (μέτρηση στάθμης πριν & μετά).

Το τελικό παραδοτέο είναι ένα πίνακας όγκου ανά χιλιοστό στάθμης.

Συνεχίζω με try and error και βλέπουμε τι θα προκύψει.

quote:
Γιατί χρησιμοποιείς το excel που δεν ξέρεις ακριβώς τι κάνει στην LINEST;.

Το excel είναι calculator και η Linest χρησιμοποιεί την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων για την προσαρμογή ευθείας ή καμπύλης σε σημεία.
Aφού καταλήξεις στο τι θες και στο πως πρέπει να το κάνεις τότε ξεκινάς να προγραμματίζεις.

To Excel είναι ίσως η μεγαλύτερη προσφορά της Μικρομαλακής μετά το Visicalc

[Pirate]

Πάνο δες αυτή. Τα δεδομένα είναι αυτά που πόσταρες και βρίσκεται μέσα στα όρια του ±0,5% που θέλεις. Αν σου κάνει πες μου και στη συνέχεια λέμε τα υπόλοιπα.

y=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5
a 411.9463946
b 7.571172924
c 0.011276486
d -5.5632e-06
e 1.47275e-09
f -2.4718e-13

Υ.Σ.

quote:To Excel είναι ίσως η μεγαλύτερη προσφορά της Μικρομαλακής μετά το Visicalc

Συνέχεια το λέω! Και είναι ο λόγος που δεν πήγα σε Linux ή ακόμα σε Mac
Εδώ που τα λέμε όμως και σε κειμενογράφο θα πάσχαμε άνευ Μικρομαλακής.
Ποιο είναι το VisiCalc;


Στίγμα Μαστροκαπετάνιου

[pfys]

Καπετάνιε
Το κοιτάω, θα κάνω κάποιους υπολογισμούς και θα επανέλθω.

Για κάποιο ανεξήγητο λόγο είχα αποκλείσει πολυώνυμα μεγαλύτερα από 3ου βαθμού.

quote:Ποιο είναι το VisiCalc;

Το Visicalc είναι ένα spreadsheet που προϋπήρχε του excel στο Apple II & Apple III.



http://dssresources.com/history/sshistory.html

[dipoli]

Αν χρησιμοποιουσες το wolfram alpha που σου ειπα δηλαδή την mathematica του διαδικτυου, θα κατέληγες σε δευτερόλεπτα σε πολύ καλή προσέγγιση.

Δες εδω χρησιμοποιωντας λιγοτερα απο τα μισα δεδομενα καταληγει σε πολυωνυμο 10βαθμου.
Δεν τσεκαρα την ακριβεια αλλα πιστευω ειναι πολυ μεγαλη.
Δοκιμαστε την σελιδα, ειναι καταπληκτικη, αφηστε τα εξελ και τις λυσεις της προηγουμενης εικοσαετιας. Επισης λυνει και προβληματα με αγνωστους οχι μονο με αριθμητικη προσωμοιωση, δες πχ εδω ή εδω.


I believe we should all pay our tax with a smile. I tried - but they wanted cash...

[dipoli]

Και εδώ για τον Κάπτεν, που τα έχει ήδη προγραμαμτίσει αυτά


I believe we should all pay our tax with a smile. I tried - but they wanted cash...

[pfys]

quote:αφηστε τα εξελ και τις λυσεις της προηγουμενης εικοσαετιας

[dipoli]

I believe we should all pay our tax with a smile. I tried - but they wanted cash...